I més daus!

Després de parlar dels daus d'Efron, tornem als daus de Sicherman. Recordeu? Són dos daus amb numeració no estàndard que tenen la mateixa distribució de probabilitats per a la suma dels seus valors que dos daus estàndard (numerats d'1 a 6). Quan vam parlar d'aquests daus ens vam limitar a dos daus de sis cares, però per què limitar-nos? Es pot generalitzar aquest problema? És a dir, hi ha alguna forma de trobar conjunts d'm daus no estàndard d'n cares que es comportin igual que m daus estàndard d'n cares?

Imatge de Wikimedia Commons, usuari KoS
Doncs sí. Ara bé, el resultat general és matemàticament complex i no l'explicarem aquí. Si esteu familiaritzats amb l'àlgebra i els polinomis ciclotòmics, podreu trobar la informació detallada, amb totes les demostracions, a la referència [1]. Per exemple, voleu 3 daus no estàndard de 8 cares amb el mateix comportament que 3 daus estàndard de 8 cares (numerats de l'1 al 8)? Aquí els teniu: {1,5,5,5,9,9,9,13}, {1,2,3,3,4,4,5,6} i {1,2,2,3,3,4,4,5}. I podríem seguir amb tots els que vulgueu, però el resultat important és que sempre es poden trobar daus no estàndard per al cas que ens interessi o bé demostrar que no poden existir i que llavors només podem utilitzar els estàndard.

A més a més, els daus no estàndard amb el mateix comportament que els estàndard tenen una sèrie de propietats curioses. Val la pena veure'n algunes, només les comentarem i novament, si en voleu la demostració, aneu a [1]:

• Per a daus de p·q cares, on p i q són nombres primers, no necessàriament diferents, només hi ha dos possibles daus no estàndard. Si volem fer tirades de més de dos daus, haurem d'afegir els daus estàndard necessaris. Per exemple, amb els daus de 6 cares (6 = 2·3, 2 i 3 són primers) els únics dos daus no estàndard són precisament els daus de Sicherman.


• Per a daus amb un nombre primer de cares (2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.) no existeixen daus no estàndard. Només podrem manegar-nos amb daus estàndard.


• Aquesta és molt curiosa: la successió formada pel nombre de vegades que apareix un valor determinat en un dau estàndard o no estàndard equivalent forma sempre un palíndrom numèric. Per exemple: en el primer dels daus de Sicherman, el {1,2,2,3,3,4}, la freqüència de cada valor és 1,2,2,1, que forma un palíndrom. Un altre exemple: en un dels daus no estàndard de 8 cares que hem donat abans tenim {1,5,5,5,9,9,9,13}, i la freqüència de cada valor és 1,3,3,1, novament un palíndrom!


• En un dau no estàndard d'm cares el valor següent a un valor donat, k, d'una de les cares, només podrà ser, com a màxim k + m.


• Cap valor d'un dau no estàndard d'm cares pot ser superior a m² - m + 1.

I prou per avui, no? Em sembla que ja hem donat prou resultats per a pensar-hi una estona.

Referències

[1] Gallian, J. A. i Rusin, D. J. «Cyclotomic polynomials and nonstandard dice». Discrete Mathematics 27 (1979) pàg. 245-259.
[2] Broline, D. M. «Renumbering the faces of dice». Mathematics Magazine 52 5 (1979) pàg. 312-315.
[3] Fowler, B. C. i Swift, R. J. «Relabeling dice». The College Mathematic Journal 30 3 (1999) pàg. 204-208.