19 de març 2009

Els daus d'Efron

Fa poc parlàvem dels daus de Sicherman, recordeu? Avui parlarem d'uns altres daus, els daus d'Efron i, en general, de daus intransitius.

Primer potser val la pena explicar què redimonis vol dir transitiu i intransitiu. Que una relació entre objectes sigui transitiva significa que si A implica B i B implica C, llavors A implica C. Per exemple, la relació «més gran que» dins del conjunt dels nombres reals és transitiva, ja que si a > b i b > c, llavors per força a > c. Un altre exemple, encara més evident, és la relació «igual que»: si a = b i b = c, està claríssim que a = c.

En canvi, quan això no passa es diu que la relació és intransitiva. En el món dels jocs l'exemple més simple de relació intransitiva és al joc Pedra, paper, tisora amb la relació «A guanya a B»: la pedra guanya a la tisora i la tisora guanya al paper, però això no implica que la pedra guanyi al paper, al contrari, és el paper qui guanya a la pedra. En el cas de daus intransitius, la relació és «El dau A té una major probabilitat de treure un número més alt que el dau B».


Hi ha molts conjunts de daus que són intransitius i potser els més famosos són els daus d'Efron, que podeu veure a la foto de dalt. Els daus d'Efron, inventats per l'estadístic Bradley Efron, són un conjunt de 4 daus intransitius (els anomenarem A, B, C i D) que tenen la numeració:

- A = {4,4,4,4,0,0}
- B = {3,3,3,3,3,3}
- C = {6,6,2,2,2,2}
- D = {5,5,5,1,1,1}

La probabilitat que A guanyi a B o que B guanyi a C, o que C guanyi a D, o que D guanyi a A, és de 2/3 (66,6%). Fixeu-vos que el fet que A > B, B > C, C > D, no implica que A > D, ans al contrari: resulta que D > A! És el mateix cas que amb Pedra, paper, tisora.


Hi ha molts altres conjunts de daus intransitius, alguns ideats també per Bradley Efron. A dalt en teniu un altre exemple, amb la numeració A = {1,4,4,4,4,4}, B = {3,3,3,3,3,6} i C = {2,2,2,5,5,5}, que dóna unes probabilitats de A > B del 69,4%, de B > C del 58,3% i de C > A del 58,3%. Per cert, els dos conjunts de daus intransitius de les fotos anteriors els podreu trobar a www.grand-illusions.com. Un altre conjunt possible és A = {2,2,4,4,9,9}, B = {1,1,6,6,8,8} i C = {3,3,5,5,7,7}. I n'hi ha molts més!

Per acabar, d'entre tota la diversitat de daus intransitius cal destacar també els daus Miwin, creats pel físic Michael Winkelmann, que, a més de la intransitivitat, tenen altres propietats matemàtiques curioses. Aquí els teniu:

Cap comentari: