Els daus de Sicherman

Avui juguem a daus. Però no amb daus qualssevol, sinó amb aquests:

Una mica estranys, oi? què hi fa un 8? i dos 3? Anem a pams...

Tots sabem que la probabilitat de treure un número determinat, de l'1 al 6, en el llançament d'un dau normal de 6 cares és igual a 1/6, és a dir, d'un 16,67% (si el dau no està trucat, evidentment). I en general, la probabilitat de treure un número determinat en el llançament d'un dau d'n cares és igual a 1/n. Fins aquí res de nou, oi?

Si llancem dos daus de 6 cares, la probabilitat que la suma dels daus sigui un número determinat, entre el 2 i el 12, depèn del nombre de maneres diferents d'obtenir aquest valor. Així, només podrem obtenir un 2 si treiem un 1 i un altre 1, i com que la probabilitat de treure un 1 és 1/6, la de treure'n dos és 1/36 (2,78%); en canvi, un 4 el podem obtenir amb un 1 i un 3, un 3 i un 1 o dos 2, de manera que la probabilitat d'un 4 és 3/36 (8,33%). En definitiva, la distribució de probabilitats per a la suma dels valors de 2 daus normals de 6 cares, és:

Doncs bé, els daus de Sicherman, els que surten a la foto, són dos daus amb una numeració diferent de la normal d'1 a 6 que, tot i així, tenen la mateixa distribució de probabilitats per a la suma dels seus valors. És a dir, que en qualsevol situació en què calgui llençar dos daus normals i sumar-ne el valor, es poden utilitzar dos daus normals o bé els daus de Sicherman: el resultat és exactament el mateix.

Aquests dos daus tenen els valors següents a les seves cares: {1,2,2,3,3,4} i {1,3,4,5,6,8}. A més, es pot demostrar que són l'única possible parella de daus que té aquesta propietat, si només es consideren nombres enters positius. Si es permet el 0, llavors es tenen dues parelles més: una és {0,1,1,2,2,3} i {2,4,5,6,7,9}; l'altra és {2,3,3,4,4,5} i {0,2,3,4,5,7}. Si també permetem nombres enters negatius la cosa es dispara i llavors existeixen infinites parelles amb aquesta propietat.

Segons un article publicat per Martin Gardner a Scientific American el 1978, aquesta combinació de daus va ser descoberta pel coronel George Sicherman, de Buffalo, als Estats Units, tot i que sembla que altres ja els havien utilitzat alguna vegada anteriorment.

Curiós, oi? De fet els vaig trobar, a partir de la revista Physics World (res a veure amb jocs, doncs), a la botiga on-line de gàdgets (digueu-ne collonades, si voleu) científics Grand Illusions. Si en voleu uns, els hi podreu comprar per menys de 3 euros.

I espereu, que no hem acabat! Aviat també parlarem dels daus d'Efron, de daus intransitius i de daus de Sicherman generalitzats. Ens ha agafat la dèria dels daus, tu.