19 de març 2009

Els daus d'Efron

Fa poc parlàvem dels daus de Sicherman, recordeu? Avui parlarem d'uns altres daus, els daus d'Efron i, en general, de daus intransitius.

Primer potser val la pena explicar què redimonis vol dir transitiu i intransitiu. Que una relació entre objectes sigui transitiva significa que si A implica B i B implica C, llavors A implica C. Per exemple, la relació «més gran que» dins del conjunt dels nombres reals és transitiva, ja que si a > b i b > c, llavors per força a > c. Un altre exemple, encara més evident, és la relació «igual que»: si a = b i b = c, està claríssim que a = c.

En canvi, quan això no passa es diu que la relació és intransitiva. En el món dels jocs l'exemple més simple de relació intransitiva és al joc Pedra, paper, tisora amb la relació «A guanya a B»: la pedra guanya a la tisora i la tisora guanya al paper, però això no implica que la pedra guanyi al paper, al contrari, és el paper qui guanya a la pedra. En el cas de daus intransitius, la relació és «El dau A té una major probabilitat de treure un número més alt que el dau B».


Hi ha molts conjunts de daus que són intransitius i potser els més famosos són els daus d'Efron, que podeu veure a la foto de dalt. Els daus d'Efron, inventats per l'estadístic Bradley Efron, són un conjunt de 4 daus intransitius (els anomenarem A, B, C i D) que tenen la numeració:

- A = {4,4,4,4,0,0}
- B = {3,3,3,3,3,3}
- C = {6,6,2,2,2,2}
- D = {5,5,5,1,1,1}

La probabilitat que A guanyi a B o que B guanyi a C, o que C guanyi a D, o que D guanyi a A, és de 2/3 (66,6%). Fixeu-vos que el fet que A > B, B > C, C > D, no implica que A > D, ans al contrari: resulta que D > A! És el mateix cas que amb Pedra, paper, tisora.


Hi ha molts altres conjunts de daus intransitius, alguns ideats també per Bradley Efron. A dalt en teniu un altre exemple, amb la numeració A = {1,4,4,4,4,4}, B = {3,3,3,3,3,6} i C = {2,2,2,5,5,5}, que dóna unes probabilitats de A > B del 69,4%, de B > C del 58,3% i de C > A del 58,3%. Per cert, els dos conjunts de daus intransitius de les fotos anteriors els podreu trobar a www.grand-illusions.com. Un altre conjunt possible és A = {2,2,4,4,9,9}, B = {1,1,6,6,8,8} i C = {3,3,5,5,7,7}. I n'hi ha molts més!

Per acabar, d'entre tota la diversitat de daus intransitius cal destacar també els daus Miwin, creats pel físic Michael Winkelmann, que, a més de la intransitivitat, tenen altres propietats matemàtiques curioses. Aquí els teniu:

14 de març 2009

Traduccions de regles

En aquest bloc fa temps que, de tant en tant, anem penjant traduccions al català de regles de jocs. Però és clar, a mesura que va passant el temps, els missatges on estan enllaçades aquestes traduccions es van enfonsant en la cada vegada més llarga llista de missatges i després no és evident ni ràpid trobar-les.

Per això ara hem posat a la columna de la dreta, aquí al costat, una petita capsa amb els enllaços a totes les traduccions de regles que hem fet fins ara. Apa, ja són totes ben endreçadetes i juntetes, llestes per a descarregar. No us queixareu que no us ho posem fàcil ;-)

11 de març 2009

Alba soviètica

Fa poc vaig descobrir un petit editor nord-americà, Victory Point Games, que es dedica a publicar wargames amb edicions semiprofessionals, tiratges petits però una qualitat prou bona i preus assequibles. En general són jocs de petit format, poca quantitat de fitxes i jugables en una hora o dues. Tenen molts jocs interessants, sovint de creadors ben reconeguts en el món dels wargames, però em van cridar especialment l'atenció dos solitaris, creats per Darin A. Leviloff: Israeli Independence i Soviet Dawn. Ambdós utilitzen el mateix sistema de joc, però el segon afegeix més elements. Parlem-ne una mica, doncs.

Soviet Dawn és un wargame solitari sobre la Guerra Civil Russa, entre 1917 i 1921. El jugador pren el control de les forces bolxevics i haurà de lluitar contra les diverses forces blanques i inicialment també contra l'exèrcit alemany; després del tractat de Brest-Litovsk contra l'expedició aliada i, acabada la Primera Guerra Mundial, també contra polonesos i finesos. Déu n'hi do!

El mapa representa el territori de la naixent Unió Soviètica, amb 6 fronts que convergeixen tots a Moscou. Cada front està format per quatre o cinc caselles unides per una línia, que indica la possible progressió de cada front fins a la capital. Inicialment cada front enemic, representat per una fitxa, comença a la casella més allunyada (en alguns casos el front és encara inactiu, com el polonès, que només s'activarà quan es creï Polònia després de la Primera Guerra Mundial, lògicament). El sistema de joc indica com van avançant aquests fronts enemics i si en algun torn una fitxa enemiga arriba a Moscou, el jugador perd; si, en canvi, aconsegueix resistir fins al final, guanya.

I precisament el sistema de joc aporta molta tensió i variabilitat i és el que trobo que li dóna interès al joc. El joc està controlat per una baralla de cartes. A cada torn el jugador en revela una (podeu veure un exemple a la imatge anterior) i la carta indica quines accions tindran lloc: si es produeix algun esdeveniment especial, quins fronts enemics avançaran posicions (o retrocediran, en casos excepcionals) i de quantes accions disposa el jugador, juntament amb possibles modificadors a les accions. Aquestes accions del jugador són el punt fort: amb cada acció el jugador pot fer una d'aquetses coses: 1) ofensiva militar en algun front, 2) intentar millorar les relacions internacionals, 3) intentar reorganitzar l'exèrcit roig. Inevitablement, a cada torn sempre es presenta el dilema de gastar accions beneficioses a curt termini, és a dir, les ofensives, ja que els enemics aviat comencen a apropar-se perillosament a Moscou, o bé gastar accions que poden donar fruit a més llarg termini, com les accions diplomàtiques (si les relacions internacionals cauen a zero, es perd la partida) o millorar l'exèrcit, una opció molt difícil d'aconseguir però molt valuosa. Tot plegat amanit amb esdeveniments diversos, com la possibilitat que els blancs alliberin el tsar o la possible no-signatura del tractat de Brest-Litovsk, entre altres.

Malgrat que la sort hi té un paper important, com acostuma a passar en molts wargames solitaris, les decisions que cal prendre a cada torn acostumen a ser crítiques: on i quan fer ofensives, quin és el millor moment per millorar la diplomàcia, aprofitar aquest modificador de +1 només vàlid per a un front llunyà o atacar aquell front proper, que ara té un modificador -1. D'altra banda, la rejugabilitat és prou alta, l'ordre en què apareixen les cartes pot modificar completament el curs dels esdeveniments i canviar tota la partida. Cal dir que guanyar no és gens fàcil. Jo només he guanyat una partida de cinc que n'he fet!

Em sembla que els de Victory Point Games han guanyat un client habitual. Sobretot sabent que estan preparant un altre petit solitari sobre la batalla de Rorke's Drift. Punyeta! Per què es publiquen tants jocs interessants?

05 de març 2009

Els daus de Sicherman

Avui juguem a daus. Però no amb daus qualssevol, sinó amb aquests:

Una mica estranys, oi? què hi fa un 8? i dos 3? Anem a pams...

Tots sabem que la probabilitat de treure un número determinat, de l'1 al 6, en el llançament d'un dau normal de 6 cares és igual a 1/6, és a dir, d'un 16,67% (si el dau no està trucat, evidentment). I en general, la probabilitat de treure un número determinat en el llançament d'un dau d'n cares és igual a 1/n. Fins aquí res de nou, oi?

Si llancem dos daus de 6 cares, la probabilitat que la suma dels daus sigui un número determinat, entre el 2 i el 12, depèn del nombre de maneres diferents d'obtenir aquest valor. Així, només podrem obtenir un 2 si treiem un 1 i un altre 1, i com que la probabilitat de treure un 1 és 1/6, la de treure'n dos és 1/36 (2,78%); en canvi, un 4 el podem obtenir amb un 1 i un 3, un 3 i un 1 o dos 2, de manera que la probabilitat d'un 4 és 3/36 (8,33%). En definitiva, la distribució de probabilitats per a la suma dels valors de 2 daus normals de 6 cares, és:

Doncs bé, els daus de Sicherman, els que surten a la foto, són dos daus amb una numeració diferent de la normal d'1 a 6 que, tot i així, tenen la mateixa distribució de probabilitats per a la suma dels seus valors. És a dir, que en qualsevol situació en què calgui llençar dos daus normals i sumar-ne el valor, es poden utilitzar dos daus normals o bé els daus de Sicherman: el resultat és exactament el mateix.

Aquests dos daus tenen els valors següents a les seves cares: {1,2,2,3,3,4} i {1,3,4,5,6,8}. A més, es pot demostrar que són l'única possible parella de daus que té aquesta propietat, si només es consideren nombres enters positius. Si es permet el 0, llavors es tenen dues parelles més: una és {0,1,1,2,2,3} i {2,4,5,6,7,9}; l'altra és {2,3,3,4,4,5} i {0,2,3,4,5,7}. Si també permetem nombres enters negatius la cosa es dispara i llavors existeixen infinites parelles amb aquesta propietat.

Segons un article publicat per Martin Gardner a Scientific American el 1978, aquesta combinació de daus va ser descoberta pel coronel George Sicherman, de Buffalo, als Estats Units, tot i que sembla que altres ja els havien utilitzat alguna vegada anteriorment.

Curiós, oi? De fet els vaig trobar, a partir de la revista Physics World (res a veure amb jocs, doncs), a la botiga on-line de gàdgets (digueu-ne collonades, si voleu) científics Grand Illusions. Si en voleu uns, els hi podreu comprar per menys de 3 euros.

I espereu, que no hem acabat! Aviat també parlarem dels daus d'Efron, de daus intransitius i de daus de Sicherman generalitzats. Ens ha agafat la dèria dels daus, tu.