I més daus!

Després de parlar dels daus d'Efron, tornem als daus de Sicherman. Recordeu? Són dos daus amb numeració no estàndard que tenen la mateixa distribució de probabilitats per a la suma dels seus valors que dos daus estàndard (numerats d'1 a 6). Quan vam parlar d'aquests daus ens vam limitar a dos daus de sis cares, però per què limitar-nos? Es pot generalitzar aquest problema? És a dir, hi ha alguna forma de trobar conjunts d'm daus no estàndard d'n cares que es comportin igual que m daus estàndard d'n cares?

Imatge de Wikimedia Commons, usuari KoS
Doncs sí. Ara bé, el resultat general és matemàticament complex i no l'explicarem aquí. Si esteu familiaritzats amb l'àlgebra i els polinomis ciclotòmics, podreu trobar la informació detallada, amb totes les demostracions, a la referència [1]. Per exemple, voleu 3 daus no estàndard de 8 cares amb el mateix comportament que 3 daus estàndard de 8 cares (numerats de l'1 al 8)? Aquí els teniu: {1,5,5,5,9,9,9,13}, {1,2,3,3,4,4,5,6} i {1,2,2,3,3,4,4,5}. I podríem seguir amb tots els que vulgueu, però el resultat important és que sempre es poden trobar daus no estàndard per al cas que ens interessi o bé demostrar que no poden existir i que llavors només podem utilitzar els estàndard.

A més a més, els daus no estàndard amb el mateix comportament que els estàndard tenen una sèrie de propietats curioses. Val la pena veure'n algunes, només les comentarem i novament, si en voleu la demostració, aneu a [1]:

• Per a daus de p·q cares, on p i q són nombres primers, no necessàriament diferents, només hi ha dos possibles daus no estàndard. Si volem fer tirades de més de dos daus, haurem d'afegir els daus estàndard necessaris. Per exemple, amb els daus de 6 cares (6 = 2·3, 2 i 3 són primers) els únics dos daus no estàndard són precisament els daus de Sicherman.


• Per a daus amb un nombre primer de cares (2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.) no existeixen daus no estàndard. Només podrem manegar-nos amb daus estàndard.


• Aquesta és molt curiosa: la successió formada pel nombre de vegades que apareix un valor determinat en un dau estàndard o no estàndard equivalent forma sempre un palíndrom numèric. Per exemple: en el primer dels daus de Sicherman, el {1,2,2,3,3,4}, la freqüència de cada valor és 1,2,2,1, que forma un palíndrom. Un altre exemple: en un dels daus no estàndard de 8 cares que hem donat abans tenim {1,5,5,5,9,9,9,13}, i la freqüència de cada valor és 1,3,3,1, novament un palíndrom!


• En un dau no estàndard d'm cares el valor següent a un valor donat, k, d'una de les cares, només podrà ser, com a màxim k + m.


• Cap valor d'un dau no estàndard d'm cares pot ser superior a m² - m + 1.

I prou per avui, no? Em sembla que ja hem donat prou resultats per a pensar-hi una estona.

Referències

[1] Gallian, J. A. i Rusin, D. J. «Cyclotomic polynomials and nonstandard dice». Discrete Mathematics 27 (1979) pàg. 245-259.
[2] Broline, D. M. «Renumbering the faces of dice». Mathematics Magazine 52 5 (1979) pàg. 312-315.
[3] Fowler, B. C. i Swift, R. J. «Relabeling dice». The College Mathematic Journal 30 3 (1999) pàg. 204-208.

Els daus d'Efron

Fa poc parlàvem dels daus de Sicherman, recordeu? Avui parlarem d'uns altres daus, els daus d'Efron i, en general, de daus intransitius.

Primer potser val la pena explicar què redimonis vol dir transitiu i intransitiu. Que una relació entre objectes sigui transitiva significa que si A implica B i B implica C, llavors A implica C. Per exemple, la relació «més gran que» dins del conjunt dels nombres reals és transitiva, ja que si a > b i b > c, llavors per força a > c. Un altre exemple, encara més evident, és la relació «igual que»: si a = b i b = c, està claríssim que a = c.

En canvi, quan això no passa es diu que la relació és intransitiva. En el món dels jocs l'exemple més simple de relació intransitiva és al joc Pedra, paper, tisora amb la relació «A guanya a B»: la pedra guanya a la tisora i la tisora guanya al paper, però això no implica que la pedra guanyi al paper, al contrari, és el paper qui guanya a la pedra. En el cas de daus intransitius, la relació és «El dau A té una major probabilitat de treure un número més alt que el dau B».


Hi ha molts conjunts de daus que són intransitius i potser els més famosos són els daus d'Efron, que podeu veure a la foto de dalt. Els daus d'Efron, inventats per l'estadístic Bradley Efron, són un conjunt de 4 daus intransitius (els anomenarem A, B, C i D) que tenen la numeració:

- A = {4,4,4,4,0,0}
- B = {3,3,3,3,3,3}
- C = {6,6,2,2,2,2}
- D = {5,5,5,1,1,1}

La probabilitat que A guanyi a B o que B guanyi a C, o que C guanyi a D, o que D guanyi a A, és de 2/3 (66,6%). Fixeu-vos que el fet que A > B, B > C, C > D, no implica que A > D, ans al contrari: resulta que D > A! És el mateix cas que amb Pedra, paper, tisora.


Hi ha molts altres conjunts de daus intransitius, alguns ideats també per Bradley Efron. A dalt en teniu un altre exemple, amb la numeració A = {1,4,4,4,4,4}, B = {3,3,3,3,3,6} i C = {2,2,2,5,5,5}, que dóna unes probabilitats de A > B del 69,4%, de B > C del 58,3% i de C > A del 58,3%. Per cert, els dos conjunts de daus intransitius de les fotos anteriors els podreu trobar a www.grand-illusions.com. Un altre conjunt possible és A = {2,2,4,4,9,9}, B = {1,1,6,6,8,8} i C = {3,3,5,5,7,7}. I n'hi ha molts més!

Per acabar, d'entre tota la diversitat de daus intransitius cal destacar també els daus Miwin, creats pel físic Michael Winkelmann, que, a més de la intransitivitat, tenen altres propietats matemàtiques curioses. Aquí els teniu:

Els daus de Sicherman

Avui juguem a daus. Però no amb daus qualssevol, sinó amb aquests:

Una mica estranys, oi? què hi fa un 8? i dos 3? Anem a pams...

Tots sabem que la probabilitat de treure un número determinat, de l'1 al 6, en el llançament d'un dau normal de 6 cares és igual a 1/6, és a dir, d'un 16,67% (si el dau no està trucat, evidentment). I en general, la probabilitat de treure un número determinat en el llançament d'un dau d'n cares és igual a 1/n. Fins aquí res de nou, oi?

Si llancem dos daus de 6 cares, la probabilitat que la suma dels daus sigui un número determinat, entre el 2 i el 12, depèn del nombre de maneres diferents d'obtenir aquest valor. Així, només podrem obtenir un 2 si treiem un 1 i un altre 1, i com que la probabilitat de treure un 1 és 1/6, la de treure'n dos és 1/36 (2,78%); en canvi, un 4 el podem obtenir amb un 1 i un 3, un 3 i un 1 o dos 2, de manera que la probabilitat d'un 4 és 3/36 (8,33%). En definitiva, la distribució de probabilitats per a la suma dels valors de 2 daus normals de 6 cares, és:

Doncs bé, els daus de Sicherman, els que surten a la foto, són dos daus amb una numeració diferent de la normal d'1 a 6 que, tot i així, tenen la mateixa distribució de probabilitats per a la suma dels seus valors. És a dir, que en qualsevol situació en què calgui llençar dos daus normals i sumar-ne el valor, es poden utilitzar dos daus normals o bé els daus de Sicherman: el resultat és exactament el mateix.

Aquests dos daus tenen els valors següents a les seves cares: {1,2,2,3,3,4} i {1,3,4,5,6,8}. A més, es pot demostrar que són l'única possible parella de daus que té aquesta propietat, si només es consideren nombres enters positius. Si es permet el 0, llavors es tenen dues parelles més: una és {0,1,1,2,2,3} i {2,4,5,6,7,9}; l'altra és {2,3,3,4,4,5} i {0,2,3,4,5,7}. Si també permetem nombres enters negatius la cosa es dispara i llavors existeixen infinites parelles amb aquesta propietat.

Segons un article publicat per Martin Gardner a Scientific American el 1978, aquesta combinació de daus va ser descoberta pel coronel George Sicherman, de Buffalo, als Estats Units, tot i que sembla que altres ja els havien utilitzat alguna vegada anteriorment.

Curiós, oi? De fet els vaig trobar, a partir de la revista Physics World (res a veure amb jocs, doncs), a la botiga on-line de gàdgets (digueu-ne collonades, si voleu) científics Grand Illusions. Si en voleu uns, els hi podreu comprar per menys de 3 euros.

I espereu, que no hem acabat! Aviat també parlarem dels daus d'Efron, de daus intransitius i de daus de Sicherman generalitzats. Ens ha agafat la dèria dels daus, tu.